Algèbre linéaire

Daily challenge

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A l'approche de l'examen, je vous propose le challenge suivant : chaque jour un petit exercice court d'algèbre linéaire. Pour vous entrainer, pour reviser pour progresser. Prenez 5 à 10 minutes dans votre journée pour essayer de le résoudre, puis lire le corrigé. Promis, cette habitude devrait payer (non seulement sur votre note à l'examen mais aussi et surtout, je l'espère, sur votre maitrise à long terme de l'algèbre linéaire !). Pour y penser tous les jours, pensez à ajouter cette page sur l'écran d'accueil de votre téléphone.

Si vous avez des questions, ou que vous pensez avoir trouvé une erreur, n'hésitez pas à me contacter !

11/05/2026 : Théorème du rang

Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels de dimension finie et $f : E \to F$.

Justifier que
$$0 \le \dim(\im f) \le \dim(F), \qquad \qquad 0 \le \dim(\ker f) \le \dim(E)$$
Enoncer le théorème du rang.
En déduire que
$$\dim(F) - \dim(\im f) \ge \dim(F)-\dim(E), \qquad \qquad \dim(\ker f) \ge \dim(E)-\dim(F)$$

Solution

On a les inclusions $\set{0_E} \subset \ker f \subset E$ et $\set{0_F} \subset \im f \subset F$ donc en prenant les dimension
$$0 \le \dim(\im f) \le \dim(F), \qquad \qquad 0 \le \dim(\ker f) \le \dim(E)$$
Le théorème du rang donne la relation :
$$\dim(E) = \dim(\im(f)) + \dim(\ker(f))$$
On a donc
$$\begin{align*} \dim(F) - \dim(\im f) &= \dim(F) - \dim(E) + \dim(\ker f) \\ &\ge \dim(F) - \dim(E) \end{align*}$$
et
$$\begin{align*} \dim(\ker f) &= \dim(E) - \dim(\im f) \\ &\ge \dim(E) - \dim(F) \end{align*}$$

10/05/2026 : Majoration de la dimension de l'image

Soit $f : \R^2 \to \R^6$ linéaire.

Enoncer le théorème du rang.
Montrer que
$$\dim(\im f) \le 2$$

Question 1

D'après le théorème du rang :

$$\dim(\R^2) = 2 = \dim(\im f) + \dim(\ker f)$$

Question 2

On a donc :

$$\begin{align*} \dim(\im(f)) &= 2 - \dim(\ker f) \\ &\le 2 \\ \end{align*}$$

9/05/2026 : Minoration de la dimension du noyau

Soit $f : \R^8 \to \R^5$ linéaire.

Montrer que
$$\dim(\im f) \le 5$$
Enoncer le théorème du rang.
En déduire que
$$\dim(\ker f) \ge 3$$

Question 1

On a l'inclusion $\im f \subset \R^5$, donc en prenant les dimensions :

$$\dim(\im f) \le 5$$

Question 2

Le théorème du rang donne la relation :

$$\dim(\R^8) = 8 = \dim(\im(f)) + \dim(\ker(f))$$

Question 3

On a donc

$$\begin{align*} \dim(\ker(f)) &= 8 - \dim(\im f) \\ &\ge 8 - 5 \\ &\ge 3 \end{align*}$$

8/05/2026 : Un projecteur

On note $\mathcal{B}_0 = (e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\R^3$, et on pose

$$u_1 = (1,0,0), \quad u_2 = (2,1,0), \quad u_3 = (0,0,1), \quad \mathcal{B} = (u_1,u_2,u_3)$$

Soit $E = \Vect(u_1, u_2)$ et $F = \Vect(u_3)$. Soit $p$ le projecteur sur $E$ parallèlement à $F$.

Exprimer $A := \mat_{\mathcal{B}}(p)$ la matrice de $p$ dans la base $\mathcal{B}$.
Exprimer $P := P(\mathcal{B}_0 \leftarrow \mathcal{B})$ la matrice de passage de $\mathcal{B}_0$ à $\mathcal{B}$
Exprimer $B := \mat_{\mathcal{B}_0}(p)$ en fonction de $A$ et $P$.

1. Matrice dans $\mathcal{B}$

Comme $p$ est le projecteur sur $\Vect(u_1, u_2)$ parallèlement à $\Vect(u_3)$ alors $p(u_1) = u_1$, $p(u_2) = u_2$ et $p(u_3) = 0$. On a donc

$$A = \mat_{\mathcal{B}}(p) = \begin{pmatrix}1 & \color{lightgray}{0} & \color{lightgray}{0} \\ \color{lightgray}{0} & 1 & \color{lightgray}{0} \\ \color{lightgray}{0} & \color{lightgray}{0} & 0\end{pmatrix}$$

2. Matrice de passage

La matrice de passage de $\mathcal{B}_0$ à $\mathcal{B} est

$$P = P(\mathcal{B}_0 \leftarrow \mathcal{B}) = \begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

3. Matrice dans la base canonique

La formule de changement de base nous donne

$$\begin{align*} B &= \mat_{\mathcal{B}_0}(p) \\ &= P(\mathcal{B}_0 \times \leftarrow \mathcal{B}) \times \mat_{\mathcal{B}}(p) \times P(\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}_0) \\ &= P \, A \, P^{-1} \\ \end{align*}$$

Remarque :

Ici, le calcul donnerait :

$$\begin{align*} B &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & \color{lightgray}{0} & \color{lightgray}{0} \\ \color{lightgray}{0} & 1 & \color{lightgray}{0} \\ \color{lightgray}{0} & \color{lightgray}{0} & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{align*}$$

La simplicité du résultat s'explique par le fait que $(e_1,e_2, e_3)$ est aussi une base adaptée à $p$ (au sens où $E = \Vect(e_1,e_2)$ et $F = \Vect(e_3)$).

7/05/2026 : Une symétrie

On note $\mathcal{B}_0 = (e_1, e_2)$ la base canonique de $\R^2$, et on pose

$$u_1 = (1,1), \quad u_2 = (1,-1), \quad \mathcal{B} = (u_1,u_2)$$

Soit $D_1 = \Vect(u_1)$ et $D_2 = \Vect(u_2)$. Soit $s$ la symétrie par rapport à $D_1$ parallèlement à $D_2$.

Faire un dessin des droites $D_1$, $D_2$, et pour un vecteur quelconque $u \in \R^2$, de son symétrique $s(u)$
Exprimer $A := \mat_{\mathcal{B}}(s)$ la matrice de $s$ dans la base $\mathcal{B}$.
Exprimer $P := P(\mathcal{B}_0 \leftarrow \mathcal{B})$ la matrice de passage de $\mathcal{B}_0$ à $\mathcal{B}$
Exprimer $B := \mat_{\mathcal{B}_0}(s)$ en fonction de $A$ et $P$.

1. Dessin

2. Matrice dans $\mathcal{B}$

Comme $s$ est la symétrie sur $\Vect(u_1)$ parallèlement à $\Vect(u_2)$ alors $s(u_1) = u_1$ et $s(u_2) = -u_2$, donc

$$A = \mat_{\mathcal{B}}(s) = \begin{pmatrix}1 & \color{lightgray}{0} \\ \color{lightgray}{0} & -1\end{pmatrix}$$

3. Matrice de passage

On a

$$P = P(\mathcal{B}_0 \leftarrow \mathcal{B}) = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$$

4. Matrice dans $\mathcal{B}_0$

La formule de changement de base nous donne

$$\begin{align*} B &= \mat_{\mathcal{B}_0}(s) \\ &= P(\mathcal{B}_0 \leftarrow \mathcal{B}) \times \mat_{\mathcal{B}}(s) \times P(\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}_0) \\ &= P \, A \, P^{-1} \end{align*}$$

6/05/2026 : De cartésien à paramétrique

Soit $E = \set{(x,y,z,t) \in \R^4 | x + 2y - z = t = 0}$ trouver la dimension et une base de $E$.

Dimension

Soit $(x,y,z,t) \in \R^4$, on a

$$\begin{align*}(x,y,z,t) \in E &\iff (S)\left\{\begin{array}{llllc} x &+ 2y &- z & &= 0 \\ &&&t &= 0 \end{array}\right. \end{align*}$$

Le système $(S)$ est échelonné avec $2$ paramètres ($y$, $z$), donc $\dim(E) = 2$.

Base

Le système $(S)$ est déjà réduit, on paramètre ses solutions :

$$\begin{align*}(S) &\iff \left\{\begin{array}{rlrr} x &=& -2y &+ z \\ y &=& y \\ z &=& & z \\ t &=& 0 \end{array}\right. \\ &\iff (x,y,z,t) = y . (-2,1,0,0) + z . (1,0,1,0) \end{align*}$$

Donc la famille $((-2,1,0,0),(1,0,1,0))$ est génératrice de $E$ et par dimension c'est une base de $E$.

5/05/2026 : De paramétrique à cartésien

Question 1

Question 2

4/05/2026 : Formule de changement de base (2)

Question 1

Question 2

3/05/2026 : Formule de changement de base

Bonus :

Question 1

Question 2

Question 3

Question 4

2/05/2026 : Noyau et image

Solution

30/04/2026 : Un automorphisme de $\R_3[X]$

Bonus :

Montrer que $\varphi$ est un automorphisme et si $P = \sum_{k \le 3} a_k X^k$, déterminer l'expression de $\varphi^{-1}(P)$.

Questions 1 et 2

Bonus

29/04/2026 : Somme et intersection en paramétrique

Soient $E$ et $F$ ses sous-espaces vectoriels de $\R^7$. On se donne $\mathcal{B}_E = (e_1, e_2, e_3, e_4, e_5)$ une base de $E$ et $\mathcal{B}_F = (f_1, f_2, f_3, f_4)$ une base de $F$. On suppose que l'on échelonne la système :

$$\lambda_1 . e_1 + \ldots + \lambda_5 . e_5 + \lambda_6 . f_1 + \ldots + \lambda_9 . f_9 = 0$$

Et on trouve la forme échelonnée réduite suivante :