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Feuille d'exercices 1

  1. Forme algébrique, conjugaison

    1. Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme $a+ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ :

      $$z_1 = - \frac{2}{1-i\sqrt{3}}$$ $$z_2 = \frac{1}{(1+2i)(3-i)}$$ $$z_3 = \frac{1+3i}{1-3i}$$ $$z_4 = \left(\frac{1+2i}{1+i}\right)^2$$ $$z_5 = \left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^3$$ $$z_6 = \left(\sqrt{2+\sqrt{2}} +i \sqrt{2-\sqrt{2}}\right)^2$$

    2. A quelle condition sur $z = x + iy \in \mathbb{C}$ le nombre $u = z^2+z+1$ est-il réel ?
  2. Réprésentation de l'axe imaginaire

    Montrer que pour tout $z \ne 1$ de module $1$, la quantité $\frac{z+1}{z-1}$ est imaginaire pure.

  3. Descriptions géométriques

    Décrire géométriquement les ensembles suivants

    $$\{z \in \mathbb{C}, |z-3+4i| = 5\}$$ $$\{z \in \mathbb{C}, z + \overline{z} = 6\}$$ $$\{z \in \mathbb{C}, |z-1| = |z-i|\}$$

  4. Une formule de trigonométrie

    1. Pour $\gamma \in \mathbb{R}$, déterminer le module et l'argument de $e^{i\gamma}+1$ et $e^{i\gamma}-1$.
    2. Montrer que pour tout $z \in \mathbb{C} \setminus \{1\}$ et tout $n \in \mathbb{N}$, on a $$ \sum_{k = 0}^n z^k = 1 + z + \ldots z^n = \frac{z^{n+1}-1}{z-1} $$
    3. Soit $\theta \in ]0,2\pi[$. En considérant la somme précédente pour $z = e^{i \theta}$, donner une expression de $$ \sum_{k = 0}^n \cos (k \theta) \qquad \text{ et} \qquad \sum_{k = 0}^n \sin (k \theta) $$
  5. Angle triple

    Soit $\theta \in \mathbb{R}$, on pose $z = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$.

    1. Exprimer $z^3$ sous forme algébrique et géométrique.
    2. En déduire une expression de $\cos(3\theta)$ et $\sin(3\theta)$ en fonction de $\sin \theta$ et $\cos \theta$.