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Feuille d'exercices 1
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Forme algébrique, conjugaison
- Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme $a+ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ :
$$z_1 = - \frac{2}{1-i\sqrt{3}}$$ $$z_2 = \frac{1}{(1+2i)(3-i)}$$ $$z_3 = \frac{1+3i}{1-3i}$$ $$z_4 = \left(\frac{1+2i}{1+i}\right)^2$$ $$z_5 = \left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^3$$ $$z_6 = \left(\sqrt{2+\sqrt{2}} +i \sqrt{2-\sqrt{2}}\right)^2$$
- A quelle condition sur $z = x + iy \in \mathbb{C}$ le nombre $u = z^2+z+1$ est-il réel ?
- Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme $a+ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ :
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Réprésentation de l'axe imaginaire
Montrer que pour tout $z \ne 1$ de module $1$, la quantité $\frac{z+1}{z-1}$ est imaginaire pure.
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Descriptions géométriques
Décrire géométriquement les ensembles suivants
$$\{z \in \mathbb{C}, |z-3+4i| = 5\}$$ $$\{z \in \mathbb{C}, z + \overline{z} = 6\}$$ $$\{z \in \mathbb{C}, |z-1| = |z-i|\}$$
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Une formule de trigonométrie
- Pour $\gamma \in \mathbb{R}$, déterminer le module et l'argument de $e^{i\gamma}+1$ et $e^{i\gamma}-1$.
- Montrer que pour tout $z \in \mathbb{C} \setminus \{1\}$ et tout $n \in \mathbb{N}$, on a $$ \sum_{k = 0}^n z^k = 1 + z + \ldots z^n = \frac{z^{n+1}-1}{z-1} $$
- Soit $\theta \in ]0,2\pi[$. En considérant la somme précédente pour $z = e^{i \theta}$, donner une expression de $$ \sum_{k = 0}^n \cos (k \theta) \qquad \text{ et} \qquad \sum_{k = 0}^n \sin (k \theta) $$
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Angle triple
Soit $\theta \in \mathbb{R}$, on pose $z = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$.
- Exprimer $z^3$ sous forme algébrique et géométrique.
- En déduire une expression de $\cos(3\theta)$ et $\sin(3\theta)$ en fonction de $\sin \theta$ et $\cos \theta$.