Joël Cohen

Probabilités

Feuille d'exercices 2

Cette feuille d'exercice se rapporte au chapitre 2 du cours.

  1. Maximum et minimum de deux dés

    On lance un dé à 6 faces deux fois de suite. Les variables aléatoires $D_1$ et $D_2$ désignent le résultat du premier et du deuxième lancer respectivement. On définit également les variables aléatoires $X = \min(D_1,D_2)$ et $Y = \max(D_1, D_2)$.

    1. Quelle(s) loi(s) suivent les variables $D_1$ et $D_2$ ? Les variables aléatoires $D_1$ et $D_2$ sont-elles indépendantes ?

      Les variables $D_i$ ($i = 1, 2$) suivent une loi uniforme sur $\ints{1,6}$. Les variables sont indépendantes car des lancers successifs de dés sont indépendants (voir la preuve dans le cours).

    2. Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

      Les variables $X$ et $Y$ ne sont clairement pas indépendantes (puisque $X \le Y$). On a donc notamment que $\P(X = 6, Y = 1) = 0$ mais $P(X = 6) \ne 0$ et $\P(Y = 1) \ne 0$.

    3. Déterminer les lois des variables aléatoires $X$ et $Y$.

      Pour calculer $\P(X = k)$, on peut décrire les événements $\set{X = k}$. On a par exemple

      $$\set{X = 2} = \set{(2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2, 6), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)}$$ $$\set{X = 3} = \set{(3,3), (3,4), (3,5), (3, 6), (4,3), (5,3), (6,3)}$$

      Si on veut une "formule" (ce qui aura le mérite d'avoir l'air joli, mais ne va pas forcément nous éclairer tant que ça), on peut par exemple procéder de la façon suivante : On constate que

      $$\set{X = k} = \set{D_1 = k, D_2 \ge k} \cup \set{D_1 \ge k, D_2 = k}$$

      et donc

      $$ \begin{align*} \P(X = k) &= \P(D_1 = k, D_2 \ge k) \\ & \quad+ \P(D_1 = k, D_2 \ge k) \\ & \quad - \P(D_1 = k, D_2 = k) \\ \\ &= \frac{7-k}{36} + \frac{7-k}{36} - \frac{1}{36} \\ &= \frac{13-2k}{36} \end{align*} $$

      $k$ 1 2 3 4 5 6
      $\P(X = k)$ $\frac{11}{36}$ $\frac{9}{36}$ $\frac{7}{36}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{3}{36}$ $\frac{1}{36}$

      De même on peut écrire

      $$ \begin{align*} \P(Y = k) &= \P(D_1 = k, D_2 \le k)\\ & \quad + \P(D_1 = k, D_2 \le k) \\ & \quad - \P(D_1 = k, D_2 = k) \\ \\ &= \frac{k}{36} + \frac{k}{36} - \frac{1}{36} \\ &= \frac{2k-1}{36} \end{align*}$$

      $k$ 1 2 3 4 5 6
      $\P(Y = k)$ $\frac{1}{36}$ $\frac{3}{36}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{7}{36}$ $\frac{9}{36}$ $\frac{11}{36}$

    4. Déterminer la loi de la variable $X+Y$.

      On a $X + Y = D_1 + D_2$ (pour tous réels $a, b \in \R$, on a $\min(a,b) + \max(a,b) = a+b$). On retrouve donc la loi de la somme de deux variables uniformes calculée dans le cours :

      $k$ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
      $\P(X + Y = k)$ $\frac{1}{36}$ $\frac{2}{36}$ $\frac{3}{36}$ $\frac{4}{36}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{6}{36}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{4}{36}$ $\frac{3}{36}$ $\frac{2}{36}$ $\frac{1}{36}$

  2. La loi de l'enfant unique

    Un pays décrète qu’une famille ne peut avoir un deuxième enfant que si le premier est une fille, et dans tous les cas ne peut pas avoir plus de deux enfants. On note $F$ et $G$ les variables aléatoires qui désignent le nombre de fille et de garçon dans une famille.

    1. Les variables $F$ et $G$ sont-elles indépendantes ?

      Non, le nombre de garçon dépend du nombre de filles. On a par exemple $\P(G = 1 | F = 2) = 0 \ne \P(G = 1)$.

    2. Déterminer les lois des variables $F$ et $G$.

      Il est assez naturel de faire un arbre des possibilités, et on trouve

      $$\P(G = 0) = \frac{1}{4}$$ $$\P(G = 1) = \frac{3}{4}$$

      et

      $$\P(F = 0) = \frac{1}{2}$$ $$\P(F = 1) = \frac{1}{4}$$ $$\P(F = 2) = \frac{1}{4}$$

    3. Calculer $\E(F)$ et $\E(G)$.

      On calcule $$\E(F) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ et $$\E(G) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$$

    4. Cette politique influe-t-elle sur la proportion de filles et garçons dans le pays ? Que se passe-t-il si on autorise un troisième enfant dans le cas où on a 2 filles ? Et si on autorise autant d'enfants qu'on veut tant qu'on a des filles ?

      On constate par le calcul qu'une famille a en moyenne autant de fille que de garçon. Donc la politique n'a pas eu d'influence sur la proportion globale de filles et garçons. En fait, la proportion de fille et de garçon ne dépend que de la biologie, pas de la politique de natalité (la politique changera le nombre d'enfants au sein d'une famille, mais pas la proportion globale filles/garçons dans la population).

  3. Retrouver le paramètre

    Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $\ints{0,a}$ pour un entier $a \in \N$ inconnu. On supposer que $\E(X) = 7$. Que vaut le paramètre $a$ ?

    L'espérance d'une variable aléatoire uniforme sur $\ints{0,a}$ est

    $$\E(X) = \frac{1}{a+1} \sum_{k = 0}^a k = \frac{a}{2}$$

    donc on peut conclure que $a = 14$.

  4. Pièce pipée

    On souhaite tirer à pile ou face, mais on dispose d'une pièce de monnaie dont on ignore si elle est équilibrée ou pas (la probabilité de tomber sur face vaut un paramètre $p \in [0,1]$ que l'on ne connaît pas). On vous propose alors le jeu suivant : On tire la pièce deux fois de suite. Si on obtient deux fois le même résultat, on tire à nouveau deux fois, et ce jusqu'à obtenir deux résultat successifs différents. Si le jeu s'arrête sur $(\pile, \face)$ vous gagnez, s'il s'arrête sur $(\face, \pile)$ vous perdez.

    1. Quelle est la probabilité que le jeu ne s'arrête jamais ?
      Pour que le jeu ne s'arrête jamais, il faut faire pile indéfiniment ou face indéfiniment, ce qui est de probabilité nulle (bien que ça ne soit pas strictement impossible en théorie).
    2. Ce jeu est-il équilibré ?
      Oui, le jeu est équilibré. Pour s'en convaincre on peut par exemple regarder ce qu'il se passe sur les deux premier lancers. On a $$\P(\set{\pile, \face}) = \P(\set{\face, \pile}) = p (1-p)$$ et tout résultat différent entraîne qu'on continue le jeu. Ce jeu fournit donc une façon de tirer au hasard de manière équiprobable entre deux choix, même si la pièce n'est pas équilibrée.

  5. QCM au pifomètre

    Un examen comprend 20 questions chacune notée sur 1 point. Chaque question est à choix multiple et propose 4 choix de réponses, dont une seule est correcte. Un étudiant se demande si cela vaut le coup de répondre au hasard. Dans l'hypothèse où il le ferait, on note $N_i$ sa note obtenue à la question $i$ pour $i \in \ints{1,20}$, et $T$ sa note totale pour l'examen : $$T = \sum_{i = 1}^{20} N_i$$

    1. Quelle loi suit la variable $N_i$ ? Quelle loi suit la variable $T$ ? Que vaut $\E(T)$ ?
      La variable $N_i$ suit une loi de Bernouilli de paramètre $\frac{1}{4}$. La variable $T$ suit une loi binomiale de paramètre $(20, 1/4)$ (car c'est une somme de 20 variables indépendantes de Bernouilli de paramètre $\frac{1}{4}$). On a $$\E(T) = \sum_{i = 1}^{20} \E(N_i) = \frac{20}{4} = 5$$

      Au final, répondre au hasard est sensiblement mieux que ne rien répondre.

    2. Évaluez numériquement la probabilité que l'étudiant ait "la moyenne" avec cette stratégie (c'est-à-dire au moins 10) ?
      On calcule numériquement que les chances d'avoir la moyenne sont inférieures à 1,5%.
    3. Si désormais on retire $1/3$ de point pour une mauvaise réponse, que devient $\E(T)$ ?
      On a $$\E(N_i) = 1 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = 0$$ et donc $$\E(T) = \sum_{i = 1}^{20} \E(N_i) = 0$$

      Donc l'ajout des points négatifs rend inutile la stratégie de réponse au hasard.

    4. Que devient $\E(T)$ pour chaque question, une, plusieurs ou aucune des propositions peut être juste (on met 1 point si l'étudiant coche exactement toutes les bonnes réponses, et que les bonnes réponses, et on ne mets pas de points négatifs) ?
      La variable $N_i$ suit encore une loi de Bernouilli mais dont le paramètre $\frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$. On a donc $$\E(T) = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$$

      On voit que tant qu'il n'y a pas de points négatifs, répondre au hasard fait toujours gagner des points (mais plus grand chose) par rapport à ne rien répondre (pour ramener l'espérance à 0, il faudrait retirer 1/15 de point par mauvaise réponse). La probabilité d'avoir la moyenne est devenue inférieure à 1/1000.

  6. La partie de badminton 🌶🌶

    Alice et Bob s’affrontent dans une partie de badminton. Le premier joueur arrivé à 21 points remporte le match. À chaque échange, Alice a une probabilité $p \in \ints{0,1}$ de remporter le point. On note $A_n$ et $B_n$ le nombre de points qu'Alice et Bob ont marqué respectivement au bout de $n$ échanges. On note $T_A$ le temps (en nombre d'échanges) qui faut à Alice pour marquer 21 points : $$T_A = \min \set{n \in \N, A_n \ge 21}$$ et de même, $T_B$ désignera le temps qu'il faut à Bob pour marquer 21 points.

    1. Déterminer les lois des variables $A_n$ et $B_n$. Quelle relation simple y a-t-il entre ces deux variables ?
      Si on note $X_i$ la variable qui vaut $1$ si Alice marque le point à l'échange $i$, et $Y_i$ la même variable pour Bob, alors

      $$A_n = \sum_{i = 1}^n X_i$$ $$B_n = \sum_{i = 1}^n Y_i$$

      Les variables $X_i$ suivent une loi de Bernouilli de paramètre $p$ et sont indépendantes. Les $Y_i$ suivent des lois de Bernouilli de paramètre $q = 1-p$. Donc $A_n$ suit une loi binomiale de paramètres $(n, p)$ et $B_n$ une loi binomiale de paramètre $(n,q)$. Les deux variables sont reliées par le fait que leur somme est le nombre total de points, donc $$A_n + B_n = n$$

    2. Déterminer les lois de $T_A$ et de $T_B$.
      On a $$ \begin{align*} \P(T_A = n) &= \P(A_n = 21, A_{n-1} = 20)\\ &= \P(A_n = 21 | A_{n-1} = 20) \cdot \P(A_{n-1} = 20) \\ &= p \cdot \binom{n-1}{20} p^{20} q^{n-21} \\ &= \pars{\frac{p}{q}}^{21} \binom{n-1}{20} q^{n} \end{align*} $$ de même, en inversant les rôles de $p$ et $q$, on trouve $$\P(T_B = n) = \pars{\frac{q}{p}}^{21} \binom{n-1}{20} p^{n}$$

      Remarquons au passage que comme $\sum_{n = 1}^{+\infty} \P(T_A = n) =1$, on obtient l'égalité

      $$\sum_{k = 0}^{+\infty} \binom{k}{20} p^{20} q^{k-20} = \frac{1}{p}$$

      en faisant le même raisonnement pour des matchs en $a+1$ points (avec $a \in \N$), on trouverait

      $$\sum_{k = 0}^{+\infty} \binom{k}{a} p^{a} q^{k-a} = \frac{1}{p}$$

    3. Les variables $T_A$ et $T_B$ sont-elles bornées ? Qu'en est-il de $\min(T_A, T_B)$ ?
      Les variables $T_A$ et $T_B$ ne sont pas bornées, mais $\min(T_A, T_B) < 42$ car au bout de $41 = 2 \times 21 - 1$ échanges, l'un des joueurs a forcément marqué au moins 21 points (si $A_n \le 20$ et $B_n \le 20$, alors $n \le 20 + 20 = 40$).
    4. 🌶 Calculer $\E(T_A)$ et $\E(T_B)$.

      Intuitivement, on se dit qu'Alice marque en moyenne $p$ points à chaque échange, et donc il lui faudra en moyenne $\frac{21}{p}$ échanges pour marquer 21 points. Et de même, on imagine qu'il faudra en moyenne $\frac{21}{q}$ échange pour que Bob marque 21 points. Cela peut se retrouver par le calcul :

      $$ \begin{align*} \E(T_A) &= \sum_{n = 1}^{+ \infty} n \cdot \P(T_A = n)\\ &= \sum_{n = 1}^{+ \infty} n . \binom{n-1}{20} p^{21} q^{n - 21}\\ &= 21 \cdot \sum_{n = 1}^{+ \infty} \binom{n}{21} p^{21} q^{n - 21}\\ &= \frac{21}{p} \end{align*} $$

      La dernière égalité venant d'une formule trouvée à la question 2. En échangeant les rôles de $p$ et $q$ on trouve de même $\E(T_B) = \frac{21}{q}$.

    5. 🌶 Une partie est remportée par le premier joueur qui atteint 21 points. Exprimer la probabilité qu'Alice gagne le match en fonction de $p$. Évaluer numériquement cette probabilité avec $p = 0,6$.
      Lorsqu'Alice atteint le score de 21 points à l'instant $T_A$, Bob possède un score de $T_A-21$ points. Alice a gagné si et seulement si, le score de Bob est strictement plus petit que 21 au moment où elle marque 21 points, c'est-à-dire si et seulement si $T_A-21 < 21 \iff T_A < 42$. Donc la probabilité qu'Alice gagne la partie peut s'exprimer $$\P(T_A < 42) = \sum_{n = 21}^{41} \P(T_A = n) = \sum_{n = 21}^{41} \binom{n-1}{20} p^{21} q^{n-21}$$ Pour $p = 0.6$, on peut évaluer numériquement que cette probabilité vaut environ $0.903$ (exactement $\frac{8217128048428009517473199457}{9094947017729282379150390625}$).