Probabilités - Feuille d'exercices 1

Univers

Quel univers choisiriez-vous pour les expériences aléatoires suivantes ? Quel est le cardinal de votre univers ?

On lance un dé à 4 faces. On prend $\Omega = \{1,2,3,4\}$, donc $|\Omega| = 4$.
On lance deux dés à 6 faces. On prend $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}^2$, donc $|\Omega| = 6^2 = 36$.
On lance un dé à 6 faces, et une pièce de monnaie. On prend $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\} \times \{\pile, \face\}$, donc $|\Omega| = 6 \times 2 = 12$.
On lance en même temps une pièce de 1€ et de 2€. On prend $\Omega = \{\pile, \face\}^2$, donc $|\Omega| = 4$.
On lance en même temps deux pièces identiques (qu'on ne distingue pas).
Ici, l'énoncé nous indique qu'on ne peut pas distinguer les deux pièces donc on prend

$$\Omega = \{(\pile, \pile), (\pile, \face), (\face, \face)\}$$

C'est-à-dire qu'on réunit $(\pile, \face)$ et $(\face, \pile)$ ensemble. On a donc $|\Omega| = 3$. Mais dans ce modèle, les événements ne sont pas équiprobables. En effet, physiquement la situation est la même que dans l'exemple précédent et si on tire dés pièces, on s'aperçoit que l'événement que les deux pièces sont différentes se produit avec probabilité $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
On pense à un entier aléatoire entre 1 et 10 inclus. On prend $\Omega = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} = [\!|1,10|\!]$, donc $|\Omega| = 10$.
On choisit un point au hasard sur l'axe réel. On prend $\Omega = \mathbb{R}$. Ici, l'ensemble $\Omega$ est infini.

Événements

Traduire en termes ensemblistes les événements suivants et calculer leur probabilité.

On lance un dé à 20 faces (un icosaèdre) : $$A_1 = \text{"Le résultat est un multiple de 6."}$$ On a $A_1 = \{6,12,18\}$, et donc $\P(A_1) = \frac{3}{20}$.
On tire 2 fois de suite à pile ou face : $$A_2 = \text{"On obtient 2 fois le même résultat."}$$ On a $A_2 = \{(\pile, \pile), (\face, \face)\}$ et donc $\P(A_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
On tire au dé (à 6 faces) : $$A_3 = \text{"On fait au moins 4."}$$ On a $A_3 = \{4,5,6\}$ et donc $\P(A_3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
On lance deux dés (à 6 faces) :

$$A_4 = \text{"La somme des valeurs affichées par les dés est 5."}$$

Il faut lister toutes les façons de faire un total de 5 avec deux dés (on distingue les dés).

$$ \begin{align*} A_4 & = \{(x,y) \in [\!|1,6|\!]^2, x+y = 5\}\\ & = \{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\} \end{align*} $$

et donc $\P(A_4) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

$$B_4 = \text{"La somme des valeurs affichées par les dés est 7."}$$

De même pour $B_4$, on a

$$ \begin{align*} B_4 & = \{(x,y) \in [\!|1,6|\!]^2, x+y = 7\}\\ & = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\} \end{align*} $$

et donc $\P(B_4) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. On constate donc qu'il est plus probable de faire un 7 qu'un 5.

Remarquons qu'il existe une autre façon de calculer la probabilité de $B_4$ : quelque soit le résultat du premier dé, il est possible de faire 7 au total, mais il y a une seule valeur possible pour le second dé, et on a 1 chance sur 6 de tomber sur cette valeur précise. D'où $\P(B_4) = \frac{1}{6}$. Pouvez-vous trouver un raisonnement similaire pour la probabilité de $A_4$ ?

Indépendance

On lance deux fois de suite un dé à 6 faces. On considère les événements suivants $$A = \text{"On fait 6 au premier lancer."}$$ $$B = \text{"On fait 6 au second lancer."}$$ $$C = \text{"Le total des deux lancers fait 7."}$$

Décrire explicitement les ensembles $A$, $B$ et $C$. Quel est leur cardinal ? On a $$A = \{(6,y), y \in [\!|1,6|\!]\} = \{(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \}$$ et de même $$B = \{(x,6), x \in [\!|1,6|\!]\} = \{(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6) \}$$ et enfin $$C = \{(x,y) \in [\!|1,6|\!]^2, x+y = 7\} = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$$ On a $|A| = |B| = |C| = 6$.
Étudier l'indépendance deux à deux des événements entre eux. On a $A \cap B = \{(6,6)\}$, donc on a $$ \begin{align*} \P(A \cap B) &= \frac{1}{36} \\ &= \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\ &= \P(A) \times \P(B) \end{align*} $$ donc $A$ et $B$ sont indépendants. Par ailleurs, on a $A \cap C = \{(6,1)\}$, donc on a $$ \begin{align*} \P(A \cap C) &= \frac{1}{36} \\ &= \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\ &= \P(A) \times \P(C) \end{align*} $$ donc $A$ et $C$ sont indépendants. Et de même, $B \cap C = \{(1,6)\}$ donc $B$ et $C$ sont indépendants par un calcul similaire.
Les trois événements sont-ils mutuellement indépendants ? On a $A \cap B \cap C = \emptyset$ donc $$\P(A \cap B \cap C) = 0$$ mais par ailleurs, $$\P(A) \times \P(B) \times \P(C) = \frac{1}{6^3} \ne 0$$ donc les 3 événements ne sont pas mutuellement indépendants. Cela peut se comprendre intuitivement : si on connait le statut de deux d'entre eux, on a de l'information sur le troisième (par exemple, si on sait que le premier lancer est un 6 et que le second lancer est un 6, on peut affirmer avec certitude que la somme n'est pas 7).

Probabilités conditionnelles

On lance $10$ fois un dé à 6 faces. Pour $1 \le n \le 10$, on considère l'événement $$A_n = \text{"La première fois qu'on obtient 6 est au }n^{\text{ième}} \text{ lancer"}$$ Et on note $$A_{11} = \text{"On ne fait pas de 6."}$$ et $$B = \text{"On fait au moins un 6."}$$

Que vaut le cardinal de $A_n$ ?
Pour notre expérience, l'univers est $\Omega = [\!|1,6|\!]^{10}$ donc $|\Omega| = 6^{10}$. Commençons par calculer le cardinal de $A_1$. On a

$$A_1 = \{(x_1, x_2, \ldots,x_{10}) \in \Omega, x_1 = 6\}$$

Pour choisir un élement $(x_1, x_2, \ldots,x_{10})$ dans $A_1$, on peut choisir les valeurs des $x_i$ indépendamment les unes des autres, sachant qu'on a une seule possibilité pour $x_1$, et $6$ possibilités pour tous les autres. Au final, on trouve

$$|A_1| = 1 \times \underbrace{6 \times 6 \times \ldots \times 6}_{9 \text{ fois}} = 6^9$$. Pour $A_2$, on a

$$A_2 = \{(x_1, x_2, \ldots,x_{10}) \in \Omega, x_1 \ne 6, x_2 = 6\}$$

Il y a donc $5$ possibilités pour le choix de $x_1$ (tout sauf 6), une possibilité pour $x_2$, et $6$ possibilités pour les autres $x_i$. On a donc

$$|A_2| = 5 \times 1 \times \underbrace{6 \times 6 \times \ldots \times 6}_{8 \text{ fois}} = 5 \cdot 6^8$$

On fait ensuite de même pour les suivants, et on trouve en fin de compte que pour tout $1 \le n \le 11$

$$|A_n| = 5^{n-1} \cdot 6^{10-n}$$

En divisant par $|\Omega|$, on peut en déduire la probabilité de $A_n$ (qui nous servira dans la suite) : $\P(A_n) = \frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}$
Montrer que les événements $(A_n)_{1 \le n \le 11}$ forment une partition de l'univers.
On doit montrer d'une part que les événements sont deux à deux disjoints (c'est-à-dire qu'on a $A_i \cap A_j = \emptyset$ pour tous les couples $i \ne j$ entre 1 et 11) et d'autre part qu'il recouvrent l'univers $\Omega$ tout entier (c'est-à-dire que $A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_{11} = \Omega$).

Commençons par le fait que les évéments sont disjoints. On se donne deux entiers distincts $1 \le i < j \le 11$ entre $1$ et $11$. Supposons par l'absurde que l'intersection n'est pas vide, on se donne alors $\omega = (x_1, x_2, \ldots,x_{10}) \in A_i \cap A_j$. Comme $\omega \in A_i$, alors $x_i = 6$. Mais par ailleurs, comme $\omega \in A_j$ alors $x_i \ne 6$ ($\omega \in A_j$ implique qu'on ne peut pas avoir fait un $6$ avant le $j^{\text{ème}}$ lancer). Et donc c'est absurde, et $A_i \cap A_j$.

Montront que l'union fait $\Omega$. On se donne $\omega = (x_1, x_2, \ldots,x_{10}) \in \Omega$ et on cherche à monrer que $\omega$ est dans l'un des $A_i$. De deux choses l'une soit au moins l'un des $x_i$ vaut $6$, soit aucune coordonnée ne vaut $6$. Si aucune coordonnée ne vaut $6$, alors $\omega \in A_{11}$. Sinon, au moins une coordonnée vaut $6$. Si on note $i_0$ le premier indice tel que $x_{i_0} = 6$ alors $\omega \in A_{i_0}$. Donc dans tous les cas, $\omega$ est bien dans l'un des $A_i$. En conclusion, les $(A_n)_{1 \le n \le 11}$ forment une partition de l'univers.
Calculer la probabilité de $B$ en appliquant la formule des probabilités totales. Pouvez-vous calculer cette probabilité autrement ?
D'après la question précédente, la formule des probabilités totales nous donne

$$ \begin{align*} \P(B) &= \sum_{n = 1}^{11} \P(B | A_n) \P(A_n) \\ &= \sum_{n = 1}^{11} \P(B | A_n) \cdot \P(A_n) \\ &= \sum_{n = 1}^{10} 1 \cdot \frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} \\ &= \frac{1}{6} \sum_{k = 0}^{9} \left(\frac{5}{6}\right)^{k} \\ \ \\ &= \frac{1}{6^n} \frac{1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{10}}{1 - \frac{5}{6}} \\ \ \\ &= 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \end{align*} $$

On aurait pu trouver ce résulat en constatant que $\overline{B} = A_{11}$, donc

$$\P(B) = 1 - \P(A_{11}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{10}$$

L'examen de probabilités

Une classe passe un examen de probabilités. En se basant sur les statistiques des années précédentes, vous savez que les trois quarts de la classe ont revisé l'examen, et que 80% de la classe a validé l'UE. Vous savez également que les étudiants qui avaient révisé avaient 9 chances sur 10 de valider.

Parmi les étudiants qui ont validé, quelle proportion n'avait en fait pas révisé l'examen ?

Posons les événements suivants

$$A = \text{"l'étudiant a validé."}$$ $$B = \text{"l'étudiant à révisé l'examen."}$$

Traduits en termes de probabilités, l'énoncé nous dit que

$$\P(A) = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$$ $$\P(B) = \frac{3}{4}$$ $$\P(A | B) = \frac{9}{10}$$

La question nous demande de calculer $\P(\overline{B} | A)$. On peut calculer $\P(B | A)$ par la formule de Bayes :

$$\P(B | A) = \frac{\P(A | B) \cdot \P(B)}{\P(A)} = \frac{\frac{9}{10} \cdot \frac{3}{4}}{\frac{4}{5}} = \frac{27}{32}$$
et donc pour le complémentaire, on obtient $$\P(\overline{B} | A) = 1 - \P(B | A) = \frac{5}{32} = 0,15625 $$ Donc environ 16% des étudiants qui ont validé n'avaient pas révisé.
Quelle est la probabilité de valider la matière sachant que vous n'avez pas révisé ?
La question nous demande de calculer $\P(A | \overline{B})$. Nous pouvons déduire cette probabilité en appliquant la formule de Bayes : $$\P(A| \overline{B}) = \frac{\P(\overline{B} | A) \cdot \P(A)}{\P(\overline{B})} = \frac{23}{250} = 0,092 $$ Donc il y a moins d'une chance sur 10 de valider si on n'a pas révisé.

L'usine de boulons

Dans une usine de production de boulons, il y a trois machines de production de boulons qu'on nomme $A$, $B$ et $C$. Ces trois machines fournissent respectivement 50%, 30% et 20% de la production totale en boulons de l'usine, et leurs pourcentages de pièces défectueuses sont respectivement 3%, 4% et 5%.

Quelle est la probabilité qu'une pièce, choisie au hasard dans la production, soit défectueuse ?
Vous tirez une pièces défectueuse au hasard dans la production, quelle est la probabilité que cette pièce provienne de la machine $A$ ?